费曼积分法

“费曼积分法”简介

该方法最早是由费曼提出的，一般被称为”积分符号内取微分”或者”费曼积分法”，费曼先生在《别闹了，费曼先生》一书中曾做过部分解释，感兴趣可自行查阅资料，在此不做赘述。

“费曼积分法”证明

详细证明请参考以下链接
定理证明链接

“费曼积分法”实例

下面我们以其为例，来进行讲解
$$
\int_0^{\infty}\frac{sinx}{x}dx
$$
首先我们知道这个积分是在有理函数内是不可积分的，但是如果我们想办法消去分母$x$，原式就会变成一个较为简单的积分式子。根据这样的思路，我们可以这样来分析求解
$$
设I(a)=\int_0^{\infty}\frac{sinax}{x}dx
$$
两边同时对a取微分，需要注意的一点是积分符号内由于函数同时含有x,a两个变量，因此左边实际上是对a做一个偏微分
$$
I’(a)=\int_0^{\infty}\frac{cosax}{x}\times xdx
=\int_0^{\infty}cosaxdx
$$
但可以发现$cosax$最后又变成了一个在$[0,\infty]$上不可积分的式子，因此我们要重新进行函数的构造，一种理想的构造方式是引入$e^{-ax}$这样在求积分的时候我们就也可以消去分母的$x$，最后在利用分部积分就可以求出原积分
具体求解过程如下：
$$
设I(a)=\int_0^{\infty}\frac{sinx}{x}e^{-ax}dx
$$
等式两边同时对a取微分
$$
I’(a) = - \int_0^{\infty}\frac{sinx}{x}e^{-ax}\times xdx=- \int_0^{\infty}sinxe^{-ax}dx
$$
$$设G=\int_0^{\infty}sinxe^{-ax}dx$$
分部积分得
$$G=[-e^{-ax}cosx]_0^{\infty}-a\int_0^{\infty}cosxe^{-ax}dx$$
$$G=[-e^{-ax}cosx]_0^{\infty}-a([sinxe^{-ax}]_0^{\infty} + aG)$$
$$(1+a^2)G=[-e^{-ax}(asinx+cosx)]_0^{\infty}=1$$
$$G=\frac{1}{1+a^2}$$
那么有$$I’(a)=-\frac{1}{1+a^2}$$
两边同时对$a$积分
$$I(a)=-arctana+C$$
令$a\to \infty$
$$-\frac{\pi}{2}+C=\int_0^{\infty}\frac{sinx}{x}\times 0dx=0$$
所以
$$C=\frac{\pi}{2}$$
故我们得到一个关于$a$的式子即
$$
I(a)=-arctana+\frac{\pi}{2}$$
令$a=0$
得到
$$
I(a)=\int_0^{\infty}\frac{sinx}{x}=\frac{\pi}{2}
$$

利用积分符号内取微分的方法，我们就可以解决大部分用普通方法解不出来的积分题目，这种方法的的关键在于我们需要去找到一个积分的式子，并求出，在进行赋值求出原式的解，多加练习自然可以掌握。

“费曼积分法”例题及答案

• 1 $$\int_0^1\frac{x^5-1}{lnx}dx=ln6$$
• 2 $$\int_0^{\pi}ln(1+\alpha cos(x))dx=\pi ln\frac{1+\sqrt{1-\alpha^2}}{2}$$
• 3 $$\int_0^{\pi}\frac{ln(1+cos(\alpha)cos(x))}{cos(x)}dx=\frac{1}{2}(\frac{\pi^2}{4}-\alpha^2)$$
  可自行演算求解