第6章 网格控制进阶：Transfinite 分布与结构化网格

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6.1 学习目标

• 掌握 Transfinite Curve（跨界曲线）的节点分布控制：均匀分布与等比级数（Progression）分布
• 理解 Transfinite Surface（跨界曲面）的工作原理，学会指定角点列表与三角剖分策略
• 掌握 setRecombine 将三角形合并为四边形的用法，实现全四边形网格
• 学会使用 geo::remove 删除已有实体并重建几何拓扑
• 了解椭圆光顺（Elliptic Smoothing）对结构化网格质量的提升作用

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6.2 核心概念说明

6.2.1 什么是 Transfinite 网格

在前几章中，网格节点的分布由网格尺寸场（mesh size field）自动决定。对于需要精确控制边界节点位置和数量的场景（例如 CFD 边界层、接触面配对、周期性边界），自动分布往往不能满足要求。

Transfinite 网格（Transfinite Mesh）是一类结构化网格约束，它允许用户：

1. 精确指定每条边上的节点数（通过 setTransfiniteCurve）
2. 控制节点分布规律——均匀分布或等比级数分布
3. 在曲面的参数平面内生成结构化网格（通过 setTransfiniteSurface）
4. 将三角形合并为四边形以获得全四边形网格（通过 setRecombine）

6.2.2 Transfinite Curve 的节点分布

setTransfiniteCurve 有三种基本用法：

用法	效果
setTransfiniteCurve(tag, nNodes)	边上均匀放置 nNodes 个节点（含两端点）
setTransfiniteCurve(tag, nNodes, "Progression", ratio)	等比级数分布，ratio 控制疏密方向与程度
setTransfiniteCurve(tag, nNodes, "Bump", ratio)	中点附近聚集（ratio > 1）或端点附近聚集（ratio < 1）

Progression 的疏密规律（设 ratio 的绝对值为 r）：

• r > 1：节点向曲线终点聚集，相邻段长度递增
• r < -1：节点向曲线起点聚集（反向等比）
• 0 < r < 1 或 -1 < r < 0：反向分布，即节点向相反方向聚集

以 ratio = 1.2 为例：终点段长度 = 起点段长度 x 1.2^(n-1)，节点从起点到终点逐渐变疏。

6.2.3 Transfinite Surface 与角点

setTransfiniteSurface 在曲面的参数平面内使用跨界插值（transfinite interpolation）连接各边上的节点，形成结构化四边形网格：

• 四边形面：Gmsh 可自动识别四个角点，无需手动指定
• 多边形面（5条及以上边）：必须手动指定角点列表，Gmsh 将面划分为若干个四边形子区域
• 三角形面：支持 "Left"、"Right"、"Alternate" 三种三角剖分策略

6.2.4 Recombine 与四边形网格

setRecombine 作用于面或体，将其内部的三角形合并为四边形（或棱柱）。对于 Transfinite Surface，通常搭配 setRecombine 使用，以生成纯四边形网格。

适用条件：面上的三角形数量为偶数，才能全部合并为四边形。大多数 Transfinite 网格自动满足此条件。

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6.3 C++ 代码逐段讲解

6.3.1 基础几何：构建矩形面

从 t1 教程的矩形面出发——一个 0.1 x 0.3 的矩形，位于 z=0 平面：

#include <set>
#include <gmsh.h>

int main(int argc, char **argv) {
  gmsh::initialize();
  gmsh::model::add("t6");

  double lc = 1e-2;
  gmsh::model::geo::addPoint(0, 0, 0, lc, 1);
  gmsh::model::geo::addPoint(.1, 0, 0, lc, 2);
  gmsh::model::geo::addPoint(.1, .3, 0, lc, 3);
  gmsh::model::geo::addPoint(0, .3, 0, lc, 4);
  gmsh::model::geo::addLine(1, 2, 1);
  gmsh::model::geo::addLine(3, 2, 2);   // 注意方向：从点3到点2
  gmsh::model::geo::addLine(3, 4, 3);
  gmsh::model::geo::addLine(4, 1, 4);
  gmsh::model::geo::addCurveLoop({4, 1, -2, 3}, 1);
  gmsh::model::geo::addPlaneSurface({1}, 1);

曲线环 {4, 1, -2, 3} 中，曲线2因定义方向（3->2）与环路方向相反，故取负值。曲线4（4->1）和曲线3（3->4）方向构成闭环：4->1 (线4) -> 1->2 (线1) -> 2->3 (线2反向即3->2) -> 3->4 (线3)。

6.3.2 删除与重建：geo::remove 的使用

接下来删除矩形面本身和左侧边（曲线4），并用三段新线替换左侧边，形成更复杂的多边形面：

  // 删除面1（dim=2, tag=1）和曲线4（dim=1, tag=4）
  gmsh::model::geo::remove({{2, 1}, {1, 4}});

geo::remove 接受一个 vector<pair<int,int>>，每个 {dim, tag} 指定要删除的实体。删除面同时会解除面与其边界曲线的关联，但曲线本身不会自动删除——需要显式指定。

  // 在左侧添加两个新点，将原来的一条线替换为三段线
  int p1 = gmsh::model::geo::addPoint(-0.05, 0.05, 0, lc);
  int p2 = gmsh::model::geo::addPoint(-0.05, 0.1, 0, lc);
  int l1 = gmsh::model::geo::addLine(1, p1);
  int l2 = gmsh::model::geo::addLine(p1, p2);
  int l3 = gmsh::model::geo::addLine(p2, 4);

左侧新轮廓由三段线组成：从点1到p1、p1到p2、p2到点4。注意 addPoint 省略了 tag 参数时，Gmsh 自动分配标签。

  // 用新的边界重建面和曲线环
  gmsh::model::geo::addCurveLoop({2, -1, l1, l2, l3, -3}, 2);
  gmsh::model::geo::addPlaneSurface({-2}, 1);

新曲线环的序列为：线2 -> 线1反向 -> l1 -> l2 -> l3 -> 线3反向。面标签设为1（覆盖之前删除的面）。曲线环标签前的负号 {-2} 表示反转法向（当 Gmsh 自动判断的法向与期望相反时使用）。

6.3.3 Transfinite Curve：节点数控制

setTransfiniteCurve 的基本形式指定曲线上的均匀节点数：

  // 在曲线2上强制放置20个均匀节点（含端点）
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteCurve(2, 20);

对于由多条曲线首尾相连组成的"复合边"（如 l1 + l2 + l3 构成左侧边），需要分别为各段设置节点数。共享端点不会重复计算，因此节点总数 = sum(各段节点数) - (共享点数)：

  // l1=6节点, l2=6节点, l3=10节点 → 总共 6+6+10-2(两个共享点p1,p2) = 20节点
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteCurve(l1, 6);
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteCurve(l2, 6);
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteCurve(l3, 10);

注意：左右两侧边均为 20 个节点，这使得对面（曲线1和曲线3的对应关系）在 Transfinite 插值时形成一致的行数。

6.3.4 Transfinite Curve：等比级数分布

对于上下两条长边（曲线1和曲线3），使用等比级数分布将节点向几何特征区域聚集：

  // 曲线1：30个节点，等比级数 -1.2 → 节点向起点（左侧）聚集
  // 负号表示反向：ratio=-1.2 即节点向曲线起点方向聚集
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteCurve(1, 30, "Progression", -1.2);

  // 曲线3：30个节点，等比级数 1.2 → 节点向终点聚集
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteCurve(3, 30, "Progression", 1.2);

曲线	ratio	效果
曲线1	-1.2	节点向起点（点1方向）聚集，比值
曲线3	1.2	节点向终点聚集，比值 r=1.2

曲线1与曲线3形成对称的疏密分布，这对于需要局部细化的仿真场景（如裂纹尖端、接触区域）非常有用。

6.3.5 Transfinite Surface：多边界面与角点指定

由于当前面的边界由 6 条曲线组成（线2, 线1, l1, l2, l3, 线3），属于多边形面，必须手动指定角点：

  // 指定四个角点：点1(左下), 点2(右下), 点3(右上), 点4(左上)
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteSurface(1, "Left", {1, 2, 3, 4});

角点列表的顺序决定了结构化网格的分块方向。"Left" 指定了三角形剖分的策略（将四边形沿对角线剖分为两个三角形时，对角线向左倾斜）。

三角剖分策略（仅对非四边形的面有效）：

策略	描述
"Left"	对角线向左倾斜（默认）
"Right"	对角线向右倾斜
"Alternate" / "AlternateLeft"	交替方向剖分（首排向左）
"AlternateRight"	交替方向剖分（首排向右）

6.3.6 Recombine：三角形合并为四边形

  // 将面1的三角形单元合并为四边形
  gmsh::model::geo::mesh::setRecombine(2, 1);

setRecombine 的第一个参数是维度（dim），2 表示对面进行重组。这里的"重组"含义是：将网格生成器产生的三角形对合并为四边形。对于 Transfinite 网格，三角形数量天然为偶数，因此重组总是成功的。

6.3.7 自动角点检测：四边形面示例

当面的边界仅有 4 条（或 3 条）曲线时，Gmsh 可以自动识别角点，无需手动指定：

  // 创建一个简单四边形面，演示自动角点检测
  gmsh::model::geo::addPoint(0.2, 0.2, 0, 1.0, 7);
  gmsh::model::geo::addPoint(0.2, 0.1, 0, 1.0, 8);
  gmsh::model::geo::addPoint(0.25, 0.2, 0, 1.0, 9);
  gmsh::model::geo::addPoint(0.3, 0.1, 0, 1.0, 10);
  gmsh::model::geo::addLine(8, 10, 10);
  gmsh::model::geo::addLine(10, 9, 11);
  gmsh::model::geo::addLine(9, 7, 12);
  gmsh::model::geo::addLine(7, 8, 13);
  gmsh::model::geo::addCurveLoop({10, 11, 12, 13}, 14);
  gmsh::model::geo::addPlaneSurface({14}, 15);

  // 四条边上各放 10 个节点
  for (int i = 10; i <= 13; i++)
    gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteCurve(i, 10);

  // 无需指定角点——Gmsh 自动识别四边形面的四个角
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteSurface(15);

若想尝试不同的三角剖分策略，可将上句替换为：

  // gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteSurface(15, "Alternate");

6.3.8 椭圆光顺与网格生成

最后，通过椭圆光顺（elliptic smoother）对网格进行优化，使单元更加规则：

  // 应用椭圆光顺，迭代 100 步
  gmsh::option::setNumber("Mesh.Smoothing", 100);

  gmsh::model::geo::synchronize();
  gmsh::model::mesh::generate(2);
  gmsh::write("t6.msh");

"Mesh.Smoothing" 的值表示光顺迭代步数。100 步对于大多数情况已经足够使结构化网格趋于正交。该选项对自由网格（非 Transfinite）同样有效，但对结构化网格的提升最为显著。

提示：对于高曲率曲面或大变形网格，过度的光顺可能导致边界附近的单元质量下降。此时可适当减少迭代步数（如 10-50）。

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6.4 完整可运行代码

#include <set>
#include <gmsh.h>

int main(int argc, char **argv) {
  gmsh::initialize();
  gmsh::model::add("t6");

  double lc = 1e-2;
  // ===== 基础矩形面 =====
  gmsh::model::geo::addPoint(0, 0, 0, lc, 1);
  gmsh::model::geo::addPoint(.1, 0, 0, lc, 2);
  gmsh::model::geo::addPoint(.1, .3, 0, lc, 3);
  gmsh::model::geo::addPoint(0, .3, 0, lc, 4);
  gmsh::model::geo::addLine(1, 2, 1);
  gmsh::model::geo::addLine(3, 2, 2);
  gmsh::model::geo::addLine(3, 4, 3);
  gmsh::model::geo::addLine(4, 1, 4);
  gmsh::model::geo::addCurveLoop({4, 1, -2, 3}, 1);
  gmsh::model::geo::addPlaneSurface({1}, 1);

  // ===== 删除并重建左侧边界 =====
  gmsh::model::geo::remove({{2, 1}, {1, 4}});

  int p1 = gmsh::model::geo::addPoint(-0.05, 0.05, 0, lc);
  int p2 = gmsh::model::geo::addPoint(-0.05, 0.1, 0, lc);
  int l1 = gmsh::model::geo::addLine(1, p1);
  int l2 = gmsh::model::geo::addLine(p1, p2);
  int l3 = gmsh::model::geo::addLine(p2, 4);

  gmsh::model::geo::addCurveLoop({2, -1, l1, l2, l3, -3}, 2);
  gmsh::model::geo::addPlaneSurface({-2}, 1);

  // ===== Transfinite Curve：节点分布 =====
  // 右侧边：20个均匀节点
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteCurve(2, 20);

  // 左侧三段线：合计20节点
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteCurve(l1, 6);
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteCurve(l2, 6);
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteCurve(l3, 10);

  // 上下边：30节点等比级数分布
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteCurve(1, 30, "Progression", -1.2);
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteCurve(3, 30, "Progression", 1.2);

  // ===== Transfinite Surface：指定角点 =====
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteSurface(1, "Left", {1, 2, 3, 4});

  // ===== Recombine：合并三角形为四边形 =====
  gmsh::model::geo::mesh::setRecombine(2, 1);

  // ===== 第二个面：自动角点检测 =====
  gmsh::model::geo::addPoint(0.2, 0.2, 0, 1.0, 7);
  gmsh::model::geo::addPoint(0.2, 0.1, 0, 1.0, 8);
  gmsh::model::geo::addPoint(0.25, 0.2, 0, 1.0, 9);
  gmsh::model::geo::addPoint(0.3, 0.1, 0, 1.0, 10);
  gmsh::model::geo::addLine(8, 10, 10);
  gmsh::model::geo::addLine(10, 9, 11);
  gmsh::model::geo::addLine(9, 7, 12);
  gmsh::model::geo::addLine(7, 8, 13);
  gmsh::model::geo::addCurveLoop({10, 11, 12, 13}, 14);
  gmsh::model::geo::addPlaneSurface({14}, 15);

  for (int i = 10; i <= 13; i++)
    gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteCurve(i, 10);
  gmsh::model::geo::mesh::setTransfiniteSurface(15);

  // ===== 椭圆光顺 =====
  gmsh::option::setNumber("Mesh.Smoothing", 100);

  // ===== 网格生成与输出 =====
  gmsh::model::geo::synchronize();
  gmsh::model::mesh::generate(2);
  gmsh::write("t6.msh");

  // 启动 GUI（传 -nopopup 可跳过）
  std::set<std::string> args(argv, argv + argc);
  if (!args.count("-nopopup")) gmsh::fltk::run();

  gmsh::finalize();
  return 0;
}

编译与运行

g++ -o t6 t6.cpp -lgmsh -I/path/to/gmsh/include -L/path/to/gmsh/lib
./t6

运行后将看到两个面：主面（多边形面经四边形重组，节点向左侧聚集）和右上方的四边形面（均匀结构化网格）。若不传 -nopopup，Gmsh GUI 将自动弹出显示结果。

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6.5 关键 API 速查表

实体删除

API	签名	说明
geo::remove	({items}, recursive)	删除实体列表，recursive 默认 false

注意：geo::remove 第一个参数也是 vector<pair<int,int>> 格式。删除面时关联的曲线环也会解除关联。

Transfinite 曲线

API	签名	说明
mesh::setTransfiniteCurve	(tag, nNodes)	均匀分布 nNodes 个节点
mesh::setTransfiniteCurve	(tag, nNodes, "Progression", ratio)	等比级数分布
mesh::setTransfiniteCurve	(tag, nNodes, "Bump", ratio)	鼓包分布

Transfinite 曲面

API	签名	说明
mesh::setTransfiniteSurface	(tag)	自动检测角点（仅限 3/4 边面）
mesh::setTransfiniteSurface	(tag, orientation, {cornerPts...})	手动指定角点列表，orientation 可选 "Left" / "Right" / "Alternate"

四边形重组与光顺

API	签名	说明
mesh::setRecombine	(dim, tag)	将三角形合并为四边形（dim=2 对面）
mesh::setRecombine	(dim, tag, angle)	指定最大重组角度（度，默认 45）
option::setNumber	("Mesh.Smoothing", n)	椭圆光顺迭代步数

几何构建（本章涉及的复用 API）

API	说明
geo::addPoint(x, y, z, meshSize, [tag])	添加点，tag 可省略由系统自动分配
geo::addLine(startTag, endTag, [tag])	创建直线
geo::addCurveLoop({curveTags}, [tag])	创建曲线环
geo::addPlaneSurface({loopTags}, [tag])	创建平面面

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6.6 常见问题与注意事项

1. 角点数量与面边数不匹配：setTransfiniteSurface 的角点数必须等于面的边界曲线环中的曲线数量。当边界曲线数与角点数不一致时，Gmsh 报错且不生成网格。

2. Transfinite 网格的适用面：不是所有面都适合 Transfinite 剖分。面必须是拓扑四边形（或三角形）。对于复杂形状，需要使用 geo::remove 拆解为多个四边形子面。

3. 复合边上的节点共享：当多条曲线首尾相连构成一条边时，共享端点处的节点只计一次。计算总节点数时应扣除共享点数量。

4. Recombine 的前提条件：setRecombine 要求面上的三角形数量为偶数。对于 Transfinite Surface，此条件自动满足。对于自由网格，建议先检查三角形数量。

5. Progression 的符号：ratio < 0 时分布方向反转，但绝对值仍然控制疏密程度。判断聚集方向的关键是牢记"正值向终点聚集，负值向起点聚集"。

6. 光顺与边界节点：椭圆光顺默认不移动边界节点。如需调整边界节点位置，需额外设置 Mesh.SmoothingBoundary = 1。

7. 混合使用：setTransfiniteCurve 和 setTransfiniteSurface 不排斥其他网格约束（如 setSize）。在 Transfinite 曲面上，节点分布由 Transfinite 约束覆盖；自由面上，由尺寸场控制。

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下一章预告：第7章将介绍后处理功能——如何操作 View（视图）存储和可视化仿真结果，包括标量场、矢量场和张量场的可视化。