第7章背景网格（Background Mesh）：用已有网格指导网格尺寸

7.1 学习目标

理解背景网格（Background Mesh）的核心原理：用已有网格的单元尺寸信息指导新几何体的网格生成
掌握通过 merge() 加载 .pos 后处理视图文件作为背景网格的方法
学会使用 PostView 尺寸场（Size Field）将视图数据绑定为背景网格，并关闭其他尺寸约束
理解背景网格、点级 lc、尺寸场（Size Field）三者之间的优先级关系
了解自适应细化中的级联网格策略：用初次粗网格作为第二轮的背景网格

7.2 核心概念说明

7.2.1 什么是背景网格（Background Mesh）

在实际 CAE 前处理中，经常会遇到这样的需求：某一区域的网格需要根据另一个已存在网格的信息来确定尺寸。例如：

自适应网格细化（Adaptive Mesh Refinement）：先在粗网格上求解，根据误差估计对网格进行细化，此时"含误差分布的粗网格"可以作为细化阶段的输入
多物理场耦合：一个物理场的网格信息指导另一个物理场的网格生成
几何修复重剖：从旧的网格中提取尺寸分布，用于重新划分新几何

Gmsh 通过背景网格机制支持这类工作流。背景网格本质上是一个后处理视图（Post-Processing View），其中每个单元（三角形、四面体等）携带一个标量值——目标网格尺寸（target mesh size）。在网格生成时，Gmsh 查询该视图中任意空间位置处的插值尺寸，替代或补充传统的点级 lc 约束。

7.2.2 两种 Post-Processing View 的区别

Gmsh 的后处理视图分为两类，它们在作为背景网格时的使用方式有所不同：

视图类型	数据存储方式	作为背景网格时的要求
基于列表的视图（List-based view）	数据以独立列表形式存在于 `.pos` 文件中，不依赖任何模型实体	可直接使用，无需额外操作
基于模型的视图（Model-based view）	数据依附于某个具体模型的网格实体	必须创建新模型（`gmsh::model::add`）来容纳新几何体，否则剖分新网格会破坏背景网格数据

官方 t7.cpp 中使用的是基于列表的视图，因此较为简单。本章聚焦于此场景。

7.2.3 `.pos` 文件格式简介

.pos（Post-processing data）是 Gmsh 的后处理数据文件格式。一个典型的三维标量三角形视图如下：

View "background mesh" {
ST(0.078,0.235,0, 0.069,0.238,0, 0.070,0.229,0){0.012,0.012,0.008};
ST(0.011,0.100,0, 0.017,0.104,0, 0.007,0.106,0){0.004,0.005,0.003};
...
};

ST 表示标量三角形（Scalar Triangle），三个括号为三角形三顶点坐标，花括号内为每个顶点上的标量值（即目标网格尺寸）
类似地还有 SS（标量线段）、SQ（标量四边形）、VT（矢量三角形）等单元类型
该文件由 merge() 直接加载，Gmsh 自动解析为后处理视图

7.2.4 背景网格的尺寸优先级

当同时存在多种尺寸约束时，Gmsh 按以下机制处理：

默认行为：Gmsh 综合点级 lc、边界曲率、背景网格等多种来源计算最终尺寸
仅用背景网格：通过以下三个选项全部设为 0，可令 Gmsh 仅依赖背景网格决定尺寸：

cpp gmsh::option::setNumber("Mesh.MeshSizeExtendFromBoundary", 0); // 禁用边界延伸尺寸 gmsh::option::setNumber("Mesh.MeshSizeFromPoints", 0); // 禁用点级 lc gmsh::option::setNumber("Mesh.MeshSizeFromCurvature", 0); // 禁用曲率自适应尺寸

尺寸因子：Mesh.MeshSizeFactor 选项对所有尺寸来源（包括背景网格）施加全局缩放因子，默认值为 1。

这一优先级机制使得背景网格既可独立决定网格尺寸，也可与点级 lc 协同工作。

7.2.5 背景网格 vs 尺寸场（Size Field）

背景网格实际上是尺寸场（Size Field, 将在第10章详细介绍）的一种特例。当调用 gmsh::model::mesh::field::setAsBackgroundMesh() 时，Gmsh 内部会将指定的 PostView 字段注册为一个通用的尺寸场。理解这一关系有助于后续学习更复杂的自适应尺寸控制策略。

7.3 C++ 代码逐段讲解

本章代码演示两种场景：先使用背景网格生成网格，再关闭背景网格对比仅有 lc 值时的网格密度。

7.3.1 头部与初始化

#include <set>
#include <gmsh.h>

int main(int argc, char **argv) {
  gmsh::initialize();

  // 加载基于列表的后处理视图，包含目标网格尺寸
  try {
    gmsh::merge("../t7_bgmesh.pos");
  } catch (...) {
    gmsh::logger::write("Could not load background mesh: bye!");
    gmsh::finalize();
    return 0;
  }

gmsh::merge() 加载外部文件到当前模型，支持 .geo、.msh、.pos、.stl 等多种格式
此处加载的是 .pos 文件（列表型后处理视图），Gmsh 将其解析为一个或多个 View
使用 try-catch 包裹文件加载是良好的工程实践——文件缺失时给出明确错误信息并优雅退出

7.3.2 创建新模型与几何

  // 创建新模型容纳几何体。虽然列表型视图不会被剖分破坏，
  // 但显式创建新模型是好习惯，确保数据隔离
  gmsh::model::add("t7");

  // 定义一个简单矩形区域
  double lc = 1e-2;
  gmsh::model::geo::addPoint(0.0, 0.0, 0, lc, 1);
  gmsh::model::geo::addPoint(0.1, 0.0, 0, lc, 2);
  gmsh::model::geo::addPoint(0.1, 0.3, 0, lc, 3);
  gmsh::model::geo::addPoint(0.0, 0.3, 0, lc, 4);
  gmsh::model::geo::addLine(1, 2, 1);
  gmsh::model::geo::addLine(3, 2, 2);
  gmsh::model::geo::addLine(3, 4, 3);
  gmsh::model::geo::addLine(4, 1, 4);
  gmsh::model::geo::addCurveLoop({4, 1, -2, 3}, 1);
  gmsh::model::geo::addPlaneSurface({1}, 1);
  gmsh::model::geo::synchronize();

矩形尺寸为 0.1 x 0.3，点级 lc = 1e-2（约 0.01）
addCurveLoop({4, 1, -2, 3}, 1) 中，曲线 2 使用了负号——因为曲线 2 的原始定义是 (3 -> 2)，而外环需要逆时针方向，因此需要翻转其方向
synchronize() 将几何从 geo 模块同步到 Gmsh 核心模型

7.3.3 将视图绑定为背景网格尺寸场

  // 新增一个基于 PostView 的尺寸场（Size Field）
  int bg_field = gmsh::model::mesh::field::add("PostView");
  gmsh::model::mesh::field::setNumber(bg_field, "ViewIndex", 0);

  // 将该字段设为当前模型的背景网格
  gmsh::model::mesh::field::setAsBackgroundMesh(bg_field);

关键步骤解析： 1. gmsh::model::mesh::field::add("PostView") 创建一个类型为 "PostView" 的尺寸场，返回其整数句柄 bg_field 2. setNumber(bg_field, "ViewIndex", 0) 指定该尺寸场绑定到索引为 0 的视图（即 merge 加载的第一个视图） 3. setAsBackgroundMesh(bg_field) 将该尺寸场激活为当前模型的背景网格

7.3.4 禁用其他尺寸约束（可选）

  // 仅从背景网格计算尺寸，忽略其他约束
  gmsh::option::setNumber("Mesh.MeshSizeExtendFromBoundary", 0);
  gmsh::option::setNumber("Mesh.MeshSizeFromPoints", 0);
  gmsh::option::setNumber("Mesh.MeshSizeFromCurvature", 0);

如果不设置这三个选项，Gmsh 会将背景网格与点级 lc、几何曲率等综合计算（取最小值为准）。设为零后，尺寸完全由背景网格决定。在实际工程中应根据需求选择是否关闭这些选项。

7.3.5 网格生成与结果输出

  gmsh::model::mesh::generate(2);
  gmsh::write("t7.msh");

  // 启动 GUI 查看结果
  std::set<std::string> args(argv, argv + argc);
  if (!args.count("-nopopup")) gmsh::fltk::run();

  gmsh::finalize();
  return 0;
}

7.3.6 对比实验：有/无背景网格的网格密度差异

为直观展示背景网格的作用，以下扩展代码在同一个矩形几何上分别按"仅点级 lc"和"仅背景网格"两种方式生成网格，输出两份 .msh 文件供对比：

  // ===== 方案 A：仅点级 lc（不启用背景网格） =====
  gmsh::model::add("t7_no_bgm");
  // ... 创建相同的矩形几何 ...
  gmsh::model::geo::synchronize();
  gmsh::model::mesh::generate(2);
  gmsh::write("t7_no_bgm.msh");

  // ===== 方案 B：仅背景网格（关闭点级 lc） =====
  gmsh::model::add("t7_with_bgm");
  // ... 创建相同的矩形几何 ...
  int bg = gmsh::model::mesh::field::add("PostView");
  gmsh::model::mesh::field::setNumber(bg, "ViewIndex", 0);
  gmsh::model::mesh::field::setAsBackgroundMesh(bg);
  gmsh::option::setNumber("Mesh.MeshSizeFromPoints", 0);
  gmsh::model::geo::synchronize();
  gmsh::model::mesh::generate(2);
  gmsh::write("t7_with_bgm.msh");

对比两个文件可以发现：方案 A 的网格尺寸由统一的 lc = 1e-2 控制（密度均匀）；方案 B 的网格尺寸由背景网格 .pos 文件中各三角形的标量值决定（密度随空间变化）。

7.4 完整可运行代码

// -----------------------------------------------------------------------------
// Gmsh C++ 教程 第7章 —— 背景网格（Background Mesh）
//
// 本程序演示如何使用后处理视图作为背景网格来指导网格尺寸生成。
//
// 运行方式：
//   编译并运行，或在 Gmsh GUI 中加载 .pos 文件并选择 "Apply as background mesh"
//   命令行等效：gmsh t1.geo -bgm t7_bgmesh.pos
// -----------------------------------------------------------------------------

#include <set>
#include <gmsh.h>

int main(int argc, char **argv) {
  gmsh::initialize();

  // --------------------------------------------------------------------
  // 步骤 1：加载背景网格数据（列表型后处理视图）
  // --------------------------------------------------------------------
  try {
    gmsh::merge("../t7_bgmesh.pos");
  } catch (...) {
    gmsh::logger::write("Could not load background mesh: bye!");
    gmsh::finalize();
    return 0;
  }

  // --------------------------------------------------------------------
  // 步骤 2：创建新模型并定义几何
  // --------------------------------------------------------------------
  gmsh::model::add("t7");

  double lc = 1e-2;
  gmsh::model::geo::addPoint(0.0, 0.0, 0, lc, 1);
  gmsh::model::geo::addPoint(0.1, 0.0, 0, lc, 2);
  gmsh::model::geo::addPoint(0.1, 0.3, 0, lc, 3);
  gmsh::model::geo::addPoint(0.0, 0.3, 0, lc, 4);
  gmsh::model::geo::addLine(1, 2, 1);
  gmsh::model::geo::addLine(3, 2, 2);
  gmsh::model::geo::addLine(3, 4, 3);
  gmsh::model::geo::addLine(4, 1, 4);
  gmsh::model::geo::addCurveLoop({4, 1, -2, 3}, 1);
  gmsh::model::geo::addPlaneSurface({1}, 1);
  gmsh::model::geo::synchronize();

  // --------------------------------------------------------------------
  // 步骤 3：将视图注册为 PostView 尺寸场，并激活为背景网格
  // --------------------------------------------------------------------
  int bg_field = gmsh::model::mesh::field::add("PostView");
  gmsh::model::mesh::field::setNumber(bg_field, "ViewIndex", 0);
  gmsh::model::mesh::field::setAsBackgroundMesh(bg_field);

  // --------------------------------------------------------------------
  // 步骤 4（可选）：仅从背景网格计算尺寸，关闭其他约束
  // --------------------------------------------------------------------
  gmsh::option::setNumber("Mesh.MeshSizeExtendFromBoundary", 0);
  gmsh::option::setNumber("Mesh.MeshSizeFromPoints", 0);
  gmsh::option::setNumber("Mesh.MeshSizeFromCurvature", 0);

  // --------------------------------------------------------------------
  // 步骤 5：生成网格并输出
  // --------------------------------------------------------------------
  gmsh::model::mesh::generate(2);
  gmsh::write("t7.msh");

  // 启动 GUI 查看结果（传 -nopopup 可跳过）
  std::set<std::string> args(argv, argv + argc);
  if (!args.count("-nopopup")) gmsh::fltk::run();

  gmsh::finalize();
  return 0;
}

7.5 关键 API 速查表

文件合并

函数	签名	说明
`gmsh::merge`	`merge(filename)`	将外部文件（.geo / .msh / .pos / .stl 等）合并到当前模型

尺寸场（Size Field）——背景网格子集

函数	说明
`gmsh::model::mesh::field::add("PostView")`	创建基于后处理视图的尺寸场，返回字段句柄
`gmsh::model::mesh::field::setNumber(field, "ViewIndex", idx)`	将尺寸场绑定到第 `idx` 号视图（0-based）
`gmsh::model::mesh::field::setAsBackgroundMesh(field)`	将指定尺寸场激活为当前模型的背景网格

网格尺寸控制选项

选项名	默认值	说明
`Mesh.MeshSizeExtendFromBoundary`	1	是否从边界曲线延伸计算尺寸约束
`Mesh.MeshSizeFromPoints`	1	是否使用几何点的 `lc` 值作为尺寸约束
`Mesh.MeshSizeFromCurvature`	1	是否根据几何曲率自适应调整尺寸
`Mesh.MeshSizeFactor`	1	全局尺寸缩放因子（对所有来源生效）

标准网格流程

函数	说明
`gmsh::model::geo::addPoint(x, y, z, lc, tag)`	创建几何点，`lc` 为该点局部尺寸（可被背景网格覆盖）
`gmsh::model::geo::addLine(start, end, tag)`	创建直线
`gmsh::model::geo::addCurveLoop({curves...}, tag)`	由曲线列表创建闭合环（负号=反向）
`gmsh::model::geo::addPlaneSurface({loops...}, tag)`	由曲线环创建平面面
`gmsh::model::geo::synchronize()`	将几何数据同步到 Gmsh 核心模型
`gmsh::model::mesh::generate(dim)`	生成 dim 维网格
`gmsh::write(filename)`	将模型+网格写出到文件

7.6 注意事项

view-based vs list-based：如果使用的 .pos 文件是基于模型的视图（依附于某个网格），务必将新几何定义在另一个模型（通过 gmsh::model::add 创建）中，否则 mesh::generate() 的剖分过程会破坏背景网格数据。
ViewIndex 从 0 开始：setNumber(field, "ViewIndex", 0) 绑定的是 merge 加载的第一个视图。如果 .pos 文件包含多个 View 定义块，需要指定对应的索引。
关闭选项的作用域：Mesh.MeshSizeFromPoints、Mesh.MeshSizeExtendFromBoundary、Mesh.MeshSizeFromCurvature 均为全局选项（gmsh::option::setNumber），会影响该进程内后续的所有网格生成操作。在多模型场景下如需恢复默认行为，应显式设回 1。
与命令行方式的对应：本章的 C++ 逻辑等价于命令行 gmsh geometry.geo -bgm background_mesh.pos，其中 -bgm 标志自动完成 "加载视图 + 注册 PostView 字段 + 设为背景网格" 三步操作。
学习路线：背景网格是尺寸场（Size Field）的特例。掌握本章后，建议继续阅读第10章，了解更通用、灵活的尺寸场系统（如 MathEval、Box、Min、Max 等复合尺寸场）。
自适应细化应用：在实战中，典型的级联工作流为：第一步用粗网格做求解器计算；第二步提取误差估计写入 .pos 文件（每个单元携带一个误差标量）；第三步将该 .pos 作为背景网格加载，生成误差大处密集、误差小处稀疏的细化网格。此方法可显著提升 CAE 求解的精度-成本比。

第7章 背景网格（Background Mesh）：用已有网格指导网格尺寸